函数性质

单调性

设函数在上连续，在内可导

若在内，那么函数在上单调递增（减少）

注意：若，则在的足够小领域内，不一定为单调增加函数，比如

极值

第一充分条件（非必要）

设函数在内连续，在内可导，且

若时，时，则是极大值点

若时，时，则是极小值点

若在点的两侧保持同号，则单调

第二充分条件（非必要）

设函数在处具有二阶导数且，则

当时，函数在处取得极小值

当时，函数在处取得极大值

定理1

若函数在处存在阶导数，且，但，则

当为奇数时不是函数的极值点

当为偶数时是函数的极值点，若则是极小值点，若则是极大值点

凸性

设函数在区间上有定义，若对于上任意两点和任意实数总有 则称为区间上的下凸函数，称曲线在区间上是下凸的（凸函数）

若对于上任意两点和任意实数总有 则称为区间上的上凸函数，称曲线在区间上是上凸的（凹函数）

定理1

设函数在区间上可导，则函数在区间上上凸（上凸）的充分必要条件是在区间上单调递增（递减）

定理2

函数在上连续，在内具有二阶导数，那么

若在内，则在上的图形是下凸的（上凸的）

  • 拐点是指曲线在点的左右两侧凸性相反的点

渐近线

先考虑水平渐近线和铅直渐近线

定理1

若以下极限存在 则是的斜渐近线

间断点

若是函数的一个间断点，可能有

  • 在点无定义
  • 在点有定义但极限不存在
  • 在点有定义且极限存在，但
第一类间断点

均存在的间断点

  • 可去间断点：
  • 跳跃间断点：
第二类间断点

至少有一个不存在的间断点

  • 无穷间断点：
  • 振荡间断点：对于，即是振荡间断点

连续函数的局部性质

  • 局部有界性
  • 局部保号性
  • 四则运算法则
  • 反函数连续性

闭区间上连续函数的性质

  • 最大值最小值定理
  • 有界性定理
  • 零点定理
  • 介质定理

概念剖析

连续

某点连续

若在连续

则可推出在邻域内有定义，

不可推出在邻域内连续，在可导，反例

某邻域连续

若在某邻域内连续

则可推出在邻域内有定义，在邻域内处处连续

不可推出在可导，反例维尔斯特拉斯函数

某去心邻域连续

若在某去心邻域内连续

则可推出在去心邻域内有定义，在去心邻域内处处连续

不可推出在可导，在极限存在

可导

某点可导

若在可导

则可推出在处有定义，在处连续，

不可推出在邻域内连续，在邻域内可导，反例

某邻域可导

若在某邻域内可导

则可推出在邻域内有定义，在邻域内有定义，在邻域内处处连续，在邻域内极限存在

不可推出在邻域内有连续，在邻域内极限存在，反例

某去心邻域可导

若在某去心邻域内可导

则可推出在去心邻域内有定义，在去心邻域内连续，在去心邻域内极限存在，在去心邻域内有定义

不可推出在处有定义，在处连续，在处极限存在，在处有定义

二阶可导

某点二阶可导

某邻域二阶可导

某去心邻域二阶可导

导数

若有定义并且极限存在（并且在处连续），则在可导，其导数就是该极限 而极限存在的充要条件 所以可导的充要条件 其中

又其中在极限存在与在是否有定义和有定义时取值大小无关，即在点的状况不影响时的变化趋势

故极限定义时不考虑，左极限只要求在有定义，右极限只要求在有定义

极限只要求在有定义 至于可导要求在有定义，是因为连续是可导的必要非充分条件

连续，图像在每一点都有切线，但是不一定在每一点都可导，比如

极限求解

等价无穷小

泰勒公式

洛必达法则

仅适用于未定式，并且要求上下函数极限存在

定积分

适用于连加或连乘的形式，一般具有如下特征

  • 分子是0次或是1次的
  • 分母都是2次的
  • 分母次数比分子多一

变上限积分

使用洛必达法则

求导

反函数求导

可导性讨论

对于复合函数来说，若内外函数有一个不可导或都不可导，则复合函数不一定可导

比如说都不可导

隐函数求导

或者使用微分

对数求导法

参数方程求导

严格单调

高阶导数

莱布尼茨公式：适用于求两个函数相乘，其中一个函数在高阶导数时为0

或是使用泰勒公式化开

反函数高阶导数 参数方程高阶导数 隐函数高阶导数

微分

函数在点的某邻域内有定义，，如果函数增量可表示为，其中只与有关，与无关，而是比高阶的无穷小，则称在点可微，称为函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即

微分是函数增量的线性主部

定理1：对于一元函数来说可微和可导是等价的，对于多元函数来说，可微是可导的充分非必要条件

微分中值定理

费马定理

设函数在点取得极值，若存在，则必有，该点也称为驻点

罗尔中值定理

设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且满足，则存在使得

拉格朗日中值定理

设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则存在使得

另一种表达形式，有限增量公式：

柯西中值定理

设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且在内的每一点处均不为0，则存在使得

泰勒中值定理

函数在含有的某个开区间内具有阶导数，则对任一x ∈ (a, b)，有 其中

所谓的佩亚诺型余项就是将换为

麦克劳林公式是指

积分

基本积分表

技巧

第一类换元积分法（拼凑）

第二类换元积分法（简化根式）

分部积分法（微分简化）

分部积分法的精髓在于合理利用一次微分将表达式简化，一个部分被还原为原函数，一个部分变为导函数

二次积分表

有理函数积分

对于其他分式化为有理分式后再积分 此外，对于形如

可有理化函数的积分

使用万能公式将三角函数有理式变为有理函数，再进行积分 或是使用 或是使用辅助角公式

或是分母有理化 对于带有根式的此类函数

欧拉公式在简化三角函数乘积积分中的应用

欧拉代换

形如的不定积分

第一替代

第二替代

第三替代

奥斯特罗格拉茨基方法

其中若，则 其中的系数可用待定系数法确定

定积分

若是定义在闭区间上的有界函数，和式在时总趋于确定的常数，那么称在上可积（黎曼可积），其极限为在上的定积分，也称黎曼积分， 否则称在上不可积

满足下列条件的函数在上可积

  1. 在上连续
  2. 在上有界并且只有有限个间断点
  3. 在上单调有界

虽然在区间内有有限个间断点但是不满足有界：

虽然有界但是不单调：

线性性质

比如 保号性 单调性

区间可加性 不等式

积分中值定理 注意条件是不变号，反例 注意条件是连续而不是黎曼可积，反例

微积分基本定理

若在上可积，且在上的一个原函数为，则 该式称为牛顿莱布尼茨公式

若在上连续，且在上的一个原函数为，则 该式称为广义的牛顿莱布尼茨公式

定积分的可积与不定积分的可积不是一个概念

有原函数不一定黎曼可积 黎曼可积不一定有原函数 积分上限函数

  • 若在上可积，则在上连续
  • 若在上连续，则在上可导，且，即是在上的一个原函数

分段函数：分段相加

换元积分法

若在上连续，函数在或上有连续导数，且或，则

分部积分法

常用结论

  • 使用圆的面积解释

  • 设在上连续，有

若为奇函数，则 若为偶函数，则

  • 设在上连续，有

  • 对于三角函数高次定积分

有

  • 巧用质心求定积分

对于曲线弧线 对于平面图形

  • 在上可积且单调减少，则

  • 又有

一般的 更一般的

  • 嵌套积分

技巧

平面图形面积

  • X型区域
  • Y型区域
  • 极坐标系

体积

绕x轴旋转体 绕y轴旋转体 已知截面面积 柱壳法

弧长

直角坐标系 参数方程 极坐标系

旋转体表面积

反常积分

积分限不是有限的或者被积函数不是有界函数的积分

对于 需要右边两个积分同时收敛时才收敛

注意：只有收敛的条件下才能认为有偶倍奇零

上面这个反常积分是发散的

对于在上连续，点是的瑕点，对于任意的，在上可积 同样的

对于在上连续，点是的瑕点 该反常积分当且仅当右侧两个反常积分均收敛时才收敛

p-积分

当时积分收敛其值为，当时积分发散 当时积分收敛其值为，当时积分发散

托里拆利小号

性质

  • 若收敛，则
  • 满足线性运算
  • 若在任何有限区间上可积，且，与有相同的敛散性
  • 若与均收敛，且，则
  • 若收敛，也称绝对收敛，则收敛

对于无界函数的反常积分也有同样的性质

注意：以下说法是错误的

（1）若连续且收敛，则，反例

（2）若无界，则发散，反例

对应上面注意

  • 若是上的单调函数且收敛，则，且
  • 若在上一致连续且收敛，则

非负函数审敛法

若不满足，则可以先讨论的收敛性

比较判别法：

设有区间上的非负函数和，若使，又对于任何，和在区间上可积，则

  • 若收敛，则收敛
  • 若发散，则发散

推论1：设有区间上的非负函数和，且，则

  • 当时，与收敛性相同
  • 当时，收敛则收敛
  • 当时，发散则发散

对于无界函数的判别法类似

另外的判别法这里不做介绍

额外性质补充

对于反常积分来说也有夹逼定理

即若，若、均收敛，则也收敛，且有

  • 若收敛，则收敛
  • 若、收敛，则、收敛
  • 若绝对收敛，且，则必定收敛
  • 设为上的非负连续函数，若收敛，则收敛
  • 设为上的连续可微函数，当时，递减趋于零，则收敛的充要条件为收敛

常微分方程

微分方程的阶、解、通解、初值条件、特解、线性微分方程、边值条件、积分曲线

通解不一定是全部解，比如

一阶微分方程

形如 或 对于可分离变量的方程，即可化为 或是 或是 或是 将其代入原方程 一般的 就化为了上面的式子，当然时，丢弃了平凡解

可降阶的高阶微分方程

对于 可以连续积分

对于 令，化为，即为一阶线性微分方程

一般的 令，化为，即为一阶线性微分方程

或是对于 令，化为，解得，即，解

或是对于 可以

线性微分方程解的结构

对于二阶齐次线性微分方程 若、是微分方程的两个解，则 也是方程的解，若这两个解线性无关，则此为方程通解

对于二阶非齐次线性微分方程 若、是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解，是特解，则 是方程的通解

另外，对于 可以分别求出 的特解，相加得到的 即为原方程的特解

常数变易法

对于二阶线性微分方程 若已知其对应的齐次方程的一个不恒为0的解，则 解得后代入即得到通解

若已知其对应的齐次方程的两个线性无关的解、，则其特解 解得特解后即可得到通解

二阶及高阶线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

对于二次常系数齐次线性微分方程 其特征方程有特征根 若 若 若 同样的，对于高阶常系数齐次线性微分方程 其特征方程有特征根 若 若 若 若

常系数非齐次线性微分方程

只需求出特解与其对应的齐次线性微分方程的通解

对于二次常系数非齐次线性微分方程

  • 第一种情形

  • 若不是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的根，则

  • 若是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的单根，则

  • 若是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的重根，则

其中

  • 第二种情形

  • 若不是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的根，则

  • 若是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的根，则

其中 所有的系数通过待定系数法代回原方程可解得

同样的，对于高阶常系数非齐次线性微分方程

  • 第一种情形

  • 若不是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的根，则

  • 若是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的重根，则

其中

  • 第二种情形

  • 若不是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的根，则

  • 若是其对应的齐次线性微分方程的特征方程的重根，则

其中

杂项

双曲线的定义

坐标在双曲线上，其中指该点与该点关于轴对称的点与原点连线和双曲线轨迹形成的图形面积

参考

高数 | 【概念剖析】 一点可导和邻域内可导能推出来什么？_函数在某点可导可以推出什么-CSDN博客

分式型函数积分的一些常用方法 - 知乎