LinearAlgebraNote

行列式的运算

定义

性质

一些特殊类型的行列式运算

类型总览：

1. 箭型行列式
2. 两三角型行列式
3. 两条线型行列式
4. 范德蒙德型行列式
5. Hessenberg型行列式
6. 三对角型行列式
7. 各行元素和相等型行列式
8. 相邻两行对应元素相差K倍型行列式

一：箭型行列式

最常见最常用的行列式，特征很好辨识，必须掌握，请看下例：

Solution: 将第一列元素依次减去第i 列的

得：

所以：

同理 有

二：两三角型行列式

1. 特征为对角线上方元素均为a ,下方元素均为b

• 当 a = b 时可化为箭型行列式计算，当 a ≠ b 时采用拆行法计算，请看下面两例

Solution: 将第i，i = 2...n 行都减去第一行

得：

即化成了箭型行列式，所以：

---

Solution: 采用拆行法，目的是为了降阶

将第 i, i = 1...n − 1 列都减去最后一列，得：

所以：

再由行列式转置不变性得到：

联立(11)(12) ,得通式：

2. 通过适当变换可以化为两三角型行列式的，描述不如大家自己看例子揣摩，也很容易理解的，请看下例

Solution: 将第一行乘上 ，第一列乘上 ，得：

即化成了两三角型行列式

3. 一些每行上有公因子但是无法向上式那样在保持行列式不变得基础上能提出公因子的，采用升阶法，请看下例

Solution: 加边升阶，得：

再将第 i, i = 2...n + 1 都减去第一行的x_i，i = 1...n 倍，得：

即又化成了箭型行列式，可得通式：

三：两条线型行列式

特征是除了主(次)对角线或与其相邻得一条斜线所组成的任意一条线加四个顶点中的某个顶点外，其他元素均为0，这类行列式可以直接展开降阶。这段描述有点繁琐，但其实也并不复杂，请看下例理解

Solution: 按照第一列两个非0元素拉普拉斯展开即可

四：范德蒙德型行列式

范德蒙德行列式大家应该熟悉，而范德蒙德型行列式的特征就是有逐行(列)元素按幂递增(减)，可以将其转化为范德蒙德行列式来计算，请看下例

Solution: 将每行都提出 a_iⁿ, i = 1...n + 1倍，得：

上式即为范德蒙德行列式，所以通式为：

五：Hessenberg型行列式

特征为除了主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第一行(列)或第n行(列)外，其余元素均为0。这类行列式有点像前面说的两条线型行列式，但是还是有一点区别的。这类行列式都用累加消点法，即通常将某一行(列)都化简到只有一个非0元素，以便于降阶计算，请看下例

Solution: 将各列都加到第一列，得到：

降阶之后再重复上述步骤即可得到通式：

注：需要说明的是，上面举的例子比较容易看出如何实施累加消点法就可以实现将某一行(列)都化简到只有一个非0元素从而达到降阶的目的，但是还有很多Hessenberg型行列式并不这么容易就做到，还需要大家找找技巧稍微变换一下，只要始终记得你要用累加消点法来消元来降阶就可以了

六：三对角型行列式

这是一种递推结构的行列式，特征为所有主子式都有相同的结构，从而以最后一列展开，将所得的(n − 1) 阶行列式再展开即得递推公式，即递推法(特征方程法)，请看下例

Solution: 按第一列拉普拉斯展开，得：

解特征方程： x² = ax − bc ，得：

即可得通式：

注：特征方程法我没记错的话，应该是在高中将数列的时候用到的。

七：各行元素和相等型行列式

这个特征已经很清楚了吧，方法就是累加法，很简单，直接看下例

Solution: 将第i, i = 2...n 行都加到第一行去，得：

所以：

八：相邻两行对应元素相差K倍型行列式

这个要用步步差法

(1)大部分元素为数字，且相邻两行对应元素相差为1，采用逐步作差的方法，即可出现大量  ± 1 元素，进而出现大量0元素

(2)若相邻两行相差K倍，采用逐步作k倍差得方法，即可出现大量0元素

请看下面两个例子

Solution: 从第一行开始，依次用前一行减去后一行，得：

再将第一列加到第i, i = 2...n 列，得：

---

Solution: 从第一行开始，依次用前一行加上后一行的( − a) 倍，得：

所以：

矩阵的运算

加法

数乘

乘法

特别地，只有A,B可交换时，有

转置

共轭

迹

行列式

逆矩阵

伴随矩阵

初等变换

分块矩阵

相似矩阵

对于矩阵，若存在可逆矩阵使则称相似于，记作

正交矩阵

若阶方阵满足即则称为正交矩阵

性质1：为正交矩阵的充要条件是是一组标准正交基，即

性质2：

性质3：若为正交矩阵，则也是正交矩阵，且

性质4：若为正交矩阵，则也是正交矩阵

性质5：若都为正交矩阵，则也是正交矩阵

正交矩阵的任意不同两行（列）对应元素乘积为0，同一行（列）元素平方和为1，正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组

对角矩阵

可对角化

定理1：阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量

忽略特征值的排列顺序，则得到对角矩阵是唯一的，称其为相似标准型

定理2：矩阵的对应于不同特征值的特征向量是线性无关的

定理3：设是方阵的个互不相同的特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则有所有这些特征向量构成的向量组是线性无关的（共个）

定理4：阶矩阵可对角化的充要条件是的每个重特征值的代数重数等于其几何重数

实对称矩阵

定理1：实对称矩阵的特征值都是实数

定理2：实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的

（1）关注是否要正交

（2）只需对重特征值对应的特征向量进行正交化

（3）特征值与特征向量排列顺序要一致

（4）正交化过程是可以避免的

（5）正交矩阵并不是唯一的

有几类常见题型

---

1. 已知求，可以使用对角化，有些也可以写成列向量左乘行向量，便可以使用结合律使用行向量左乘列向量
2. 已知带参数的矩阵和它的对角矩阵求完整矩阵，使用特征值之和和之积解方程组
3. 已知对角矩阵和对应特征向量求原矩阵
4. 已知对角矩阵和一些特征向量求原对称矩阵，可以使用正交性质解出一组解，转换为3
5. 已知有重特征值的对角矩阵和非重特征值对应的特征向量求原对称矩阵，可以使用正交性质解出正交基础解系再单位化，转化为3

---

共轭矩阵

合同

设和是阶矩阵，若有可逆矩阵使，则称矩阵与合同，记作

定理1：二次型经过可逆线性变换后，此时与合同

二次型的矩阵、正定矩阵

其中，被称为二次型的矩阵

对于 对应的二次型的矩阵 若，使可逆矩阵，则称为满秩线性变换（可逆线性变换），否则称为降秩线性变换

标准形化

配方法

配方法得到的线性变换矩阵的行列式不能等于0

形如 有 这个矩阵必须可逆

正交变换法

对于任意实二次型总有正交变换，使化为标准型 其中是的矩阵的特征值

初等变换法

对于任意实对称矩阵都存在可逆矩阵使得

有

性质

• 惯性定理

对于任一个实二次型无论进行怎样的满秩线性变换使其化为标准形，其中正平方项的个数和负平方项的个数都是唯一确定的。若其二次型的秩为，则 其中称为正惯性指数，称为负惯性指数，正负惯性指数之差称为符号差

推论1：两实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的正惯性指数

规范形 任一个实数域上的二次型总可以经过满秩线性变换化为唯一的规范形

• 正定性

若有二次型，若对任意，都有，则称是正定二次型，并且称矩阵是正定的

若有二次型，若对任意，都有，则称是负定二次型，并且称矩阵是负定的

统称为有定二次型，而不定二次型指

若有二次型，若对任意，都有，且至少存在一个使，则称是半正定二次型，并且称矩阵是半正定的

若有二次型，若对任意，都有，且至少存在一个使，则称是半负定二次型，并且称矩阵是半负定的

如下命题等价

• 是n阶正定矩阵
• 正惯性指数为，即
• 存在可逆矩阵使
• 的个特征值全为正数
• 的个顺序主子式全为正数

一样的

如下命题等价

• 是n阶负定矩阵
• 负惯性指数为，即
• 存在可逆矩阵使
• 的个特征值全为负数
• 的个奇数阶顺序主子式全为负数，偶数阶顺序主子式全为正数

类似的

如下命题等价

• 是n阶半正定矩阵
• 正惯性指数小于
• 存在降秩矩阵使
• 的个特征值全为非负数，且至少一个等于0
• 的个顺序主子式全为非负数，且至少一个主子式等于0

向量

线性相关

称为线性组合： 称能被α₁, α₂, ..., α_n线性表示：

• 注意：只含一个0向量时线性相关，只包含一个非零向量时线性无关

• 性质1：向量组若有部分向量构成的向量组线性相关，则全体向量组线性相关

• 推论1：向量组若全体向量组线性无关，则任意部分向量组线性无关

• 性质2：若向量组含零向量，则向量组一定线性相关

• 定理1：m个向量线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示

• 推论1：m个向量线性无关的充要条件是向量组中全部向量都不能由其余m-1个向量线性表示

• 定理2： 线性无关， 线性相关，则能由 线性表示，且表达式唯一

• 推论1：两个向量组，若r+1维向量组线性相关，则r维向量组线性相关

• 定理3：n维向量组α_i = (a_1i, a_2i, ..., a_ni)^T, i = 1, 2, ..., m线性相关的充要条件是有非零解（即行列式为0），且一个非零解就是线性表示的一组系数

• 定理4：n维向量组线性无关的充要条件是只有零解（即行列式不为0）

• 定理5：任意n+1个n维向量线性相关

线性运算

和向量

数乘

性质

线性空间(前)

定义

1

设V是数域F上的所有n维向量构成的集合，且对于向量的线性封闭运算

称集合V为数域F上的n维向量空间，记为

2

设V是数域F上的n维向量构成的非空集合，且对于向量的线性封闭运算

称集合V为数域F上的向量空间，也称为V是的子空间

3 子空间

设有向量空间，如果，那么称是的子空间

两个特殊的子空间称为平凡子空间

4 基

设V为数域F上的向量空间，若V中的r个向量满足

• 线性无关
• V中任意一个向量都可由线性表示

则称向量组是向量空间V的一个基，r为向量空间的维数，记作

• 只有零向量的向量空间没有基，其维数为0
• 向量空间的基不唯一
• 向量空间V又称由基所生成的向量空间，记作

性质

• 在n维向量空间中，任何一组线性无关向量最多只能包含n个向量
• 在中的n个向量线性无关，则Fⁿ中任何一组线性无关的向量最多只能包含n个向量
• 称在基下的坐标为A

秩

定义

等价

两个向量组，若一个向量组A的任一向量都可以由向量组B中的向量线性表示，则称向量组A可以由向量组B线性表示，若向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A与向量组B等价，记为

若矩阵满足，则称矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示，为这一线性表示的系数矩阵，而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示，为这一线性表示的系数矩阵

极大线性无关组

设有向量组，若一个部分组满足

• 线性无关
• 任意均可由线性表示

则称为的一个极大线性无关组，简称极大无关组

• 只有零向量的向量组没有极大无关组
• 极大无关组不一定唯一
• 一个线性无关的向量组的极大无关组就是它本身

向量组的秩

向量组的极大无关组中所含向量个数称为向量组的秩，记作，简记为

矩阵的秩

• 矩阵的行（列）向量组的秩称为行（列）秩
• 矩阵的行秩和列秩统称为秩，记作，简记为

性质

向量组的等价

• 自反性、对称性、传递性
• 若线性无关的向量组可以由向量组B_t线性表示，则
• 若线性无关的向量组可以由向量组B_t等价，则
• 若线性无关的向量组可以由向量组B_t线性表示，且，则向量组A线性相关

极大线性无关组

• 向量组与它的任意一个极大无关组等价
• 向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量个数相同

向量组的秩

• 如果向量组A可以由向量组B线性表示，则
• 两个向量组等价，则秩相等
• 若两个向量组秩相同，并且其中一个向量组可以被另一个向量组线性表示，则这两个向量组等价
• 向量组线性无关当且仅当

矩阵的秩

• 任何矩阵的行秩等于列秩等于非零子式的最高阶数

• 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

  • 矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩

  • 矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩

• 矩阵的转置不改变矩阵的秩

• 若，则两个向量组有相同的线性关系

• 存在可逆使，r为矩阵A的行秩

• n价矩阵A的秩等于n的充要条件是A为可逆矩阵（行列式不为0）
• 等价矩阵有相同的秩
• 的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r
  • n阶方阵A可逆等价于A的行（列）向量线性无关
  • n阶方阵A的行列式为0等价于A的行（列）向量线性相关等价于

若，则

特征向量

设是阶矩阵，若存在数和维非零向量，使得 则称为矩阵的特征值，称为矩阵的对应于特征值的一个特征向量

1.特征向量是非零向量

2.对应于同一特征值的特征向量不唯一

求解

• 解，得到特征值
• 对于每一个特征值，求解方程组的所有非零解，即的对应于特征值的全部特征向量

性质

定义1：在特征值对应的全部特征向量中，设有极大无关组，这个极大无关组所张成的空间称为矩阵关于特征值的特征子空间，记作，这个特征子空间的维数称为特征值的几何重数 定义2：设是阶矩阵的重特征值，则称为特征值λ₀的代数重数

定理1： l ≤ k 定理2：若和都是矩阵的对应于特征值的特征向量，则也是的对应于的特征向量

定理3：一个特征向量不能对应于不同的特征值

定理4：设是阶矩阵的全部特征值，则 定理5：若是矩阵的特征值，是的对应于的特征向量，则

• 是的特征值
• 是的特征值
• 当可逆时，是的特征值
• 当可逆时，是的特征值
• 是的特征值
• 矩阵和矩阵的特征值相同
• 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同

定理6：可相似对角化矩阵的秩和零特征值的数量和为矩阵的阶数

一般的，矩阵的秩不小于矩阵的阶数和零特征值的数量之差

对于三阶矩阵

解线性方程组

• 等价：第一个方程组的每一个解都是第二个方程组的解，第二个方程组的每一个解都是第一个方程组的解
• 相容：线性方程组有一个解或有无穷个解，无解则称不相容

一般线性方程组有解判别定理

对于已消元的阶梯形矩阵

• 当时线性方程组无解
• 当且时线性方程组有唯一解
• 当且时线性方程组有无穷多个解

齐次线性方程组

设是矩阵关于齐次线性方程组，下列命题等价

• 有非零解
• 的列向量组线性相关
• |A| = 0

设是矩阵关于齐次线性方程组，下列命题等价

• 只有零解
• 的列向量组线性无关
• |A| ≠ 0

基础解系：设是的解向量若满足以下条件，则称是的一个基础解系

• 线性无关
• 的任意一个解向量都可由线性表示

定理1：设是矩阵，若则齐次线性方程组存在基础解系且基础解系含个解向量

对于行最简形矩阵 其通解可以表示为 其中

非齐次线性方程组

设是矩阵关于非齐次线性方程组，下列命题等价

• 有解
• b可由的列向量组线性表示

其通解可以表示为 其中为方程的一个特解 其中为对应齐次线性方程组的通解

线性空间与线性变换

定理1：线性空间的一个非空子集构成子空间的充要条件是该非空子集对于线性空间的加法与数乘运算是封闭的

定理2：非空子集是线性空间的一个非空子集，则中一切向量的所有线性组合构成的集合是中包含的最小的子空间，此集合是生成的子空间，记作

定理3：两个子空间的交与和也是子空间

定理4：

基变换

对于同一向量空间的两组基，向量在两组基下的坐标分别是

将写成由的线性表示

称矩阵为由基到基的过渡矩阵

若要判断某一个向量组是不是基，可以看能不能用一组基右乘一个可逆矩阵得到该向量组

对于同一向量空间的两组基，向量在两组基下的坐标分别是

基到的过渡矩阵为，则或

线性变换

设和均是数域上的线性空间，若映射满足满足 则称为从到的线性映射，也称线性变换或线性算子

对于为零变换，为恒等（单位）变换，为相似变换

对于从到的线性变换，有

性质1：

性质2：若，则

性质3：在中线性相关的向量组经过线性变换一定在中线性相关（逆命题是错的）

性质4：在中线性无关的向量组经过线性变换一定在中线性无关

线性变换的加法和数乘也满足线性空间的八条规则，由线性变换组成的线性空间称为变换空间，记为

线性变换的矩阵表示

两个线性空间和满足，为从到的线性变换，分别取和的基

将的像写成由的线性表示

称矩阵为线性变换的关于基和基的矩阵，记作

类似于基变换，也可以用矩阵求线性变换后的像的坐标

设线性变换的关于基和基的矩阵为，向量在基下的坐标为，且在基下的坐标，则

向量在线性变换后的像的坐标

设线性变换的关于基和基的矩阵为，向量在基下的坐标为，且在基下的坐标为，则

线性变换在不同基的表示

设和为线性空间，则对于给定的线性变换，其关于和的两个不同基和的矩阵和是等价的，即存在可逆矩阵和使

设是线性空间上的线性变换，若在两组基下的矩阵分别为和，且从基到基的过渡矩阵为，则

内积空间

若属于实数域上的线性空间，规定一种规则使和对应一个实数，且满足下列条件 则称为向量和的内积，定义内积的实线性空间称为实内积空间或欧几里得空间（欧式空间）

规定标准内积 有

长度

柯西-施瓦茨不等式：

夹角

若两两正交，则 施密特正交化方法：

由一组线性无关的维向量求得一个标准正交向量组并且满足向量组与向量组等价

写在最后

整个课程结束了，但是继续学习的道路还没有结束